普通年金是一种以固定利率定期支付固定金额的金融工具。在日常生活中，我们经常会面临需要计算年金终值的情况，而普通年金终值公式就是用来解决这个问题的。本文将详细推导普通年金终值公式，并说明其推导过程。
我们需要明确年金的概念。年金是一种定期支付或收取一定金额的经济活动，可以分为普通年金和永续年金两种。普通年金是在一定期限内进行支付或收取的，而永续年金是无限期进行支付或收取的。
接下来，我们需要推导普通年金终值公式。假设某笔普通年金的终值为X，年金金额为P，支付期数为n，利率为r。根据利率的复利计算公式，我们可以得到第一期的终值为P*(1+r)，第二期的终值为P*(1+r)^2，依此类推，第n期的终值为P*(1+r)^n。
下面，我们需要将每期的终值相加，得到整笔年金的终值。我们可以利用数列求和的公式推导。第一期到第n期的终值总和可以表示为：
X = P*(1+r) + P*(1+r)^2 + … + P*(1+r)^n
为了简化计算，我们可以将每一项提取P出来，得到：
X = P * [(1+r) + (1+r)^2 + … + (1+r)^n]
接下来，我们需要求解方括号中的和。这是一个几何级数求和问题，我们可以利用几何级数求和公式进行计算。几何级数求和公式为：
S = a * (1 – r^n) / (1 – r)
其中，a为首项，r为公比，n为项数。将上式应用到方括号中的和，我们可以得到：
X = P * [(1 – (1+r)^n) / (1 – (1+r))]
简化得到：
X = P * [(1 – (1+r)^n) / (-r)]
至此，我们推导出了普通年金终值的计算公式。
普通年金终值公式的推导过程包括了利率的复利计算、数列求和以及几何级数求和。通过推导出的公式，我们可以方便地计算出普通年金的终值。这对于金融投资、贷款等方面的决策提供了便利。
